福师19秋《实变函数》在线作业二(答案)

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熊猫奥鹏:福师《实变函数》在线作业二-0004
3 E* v4 y" a# v5 ~) V: E) Q' o0 A9 y: Z( b1.不存在这样的函数f:在区间[a,b]上增且使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .0 M$ a* I( b7 E5 h" T2 a
A.差错# V2 c4 r7 `7 n$ I- L% C6 E) s
B.正确
- @* N7 b+ R; \$ d3 m' p答案:-( E9 _$ r# A, Y7 p! X: T# T
4 {. {6 W6 b2 Y9 ^
2.可积的充分条件:若存在g∈L1,使得|f|=g.; ]5 D5 i4 _) Q
A.差错3 W8 g, X6 ^" X, E# Y3 _
B.正确
1 r* V0 d3 T( s答案:-8 n- y" O  x; j1 R/ R; B& ?; w! e
9 b# N5 o) N* O; A( S
3.对R^n中任意点集E,E\E'必为可测集.
( M" e( _7 B4 ^+ PA.差错
) B0 L8 [8 z5 D7 K9 m$ _B.正确
, t/ {' D- v. i1 K8 t/ ^答案:-
+ V' P3 Q# ~( \# M1 y+ T
/ a% \4 C& M1 v* ?# j* |$ p. ?* H4.当f在(0,+∞)上共同接连且L可积时,则lim_{x-+∞}f(x)=0./ m0 x; [3 c8 P+ s* a/ }$ R" k( K9 `
A.差错9 O* o, o/ i- n/ f. y! l* L
B.正确
4 R4 C& {: d; ~9 T: w答案:-
3 Z$ z0 h4 ?/ L) U5 n/ y" T9 r4 {( k7 d/ W
5.若f_n测度收敛于f,g接连,则g(f_n)也测度收敛于g(f)./ S' k) S+ A8 B4 }2 h
A.差错6 |4 ^- C1 {+ V, R) ]8 @
B.正确
( L( ~! @; P: p  }( f答案:-  @. B  b" g- i# F4 E& v: L, H7 S' f2 Z
4 ]' X( d" p% t
6.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处接连.
* ~& {1 w5 B2 T; fA.差错
4 q( n- u) `; g2 p1 c1 \B.正确; E! l+ K: D3 T+ _
答案:-
; }/ h3 a. m- p. d
$ o* z5 `, G8 \. c! b, M7 }7.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。" F7 o) U- ?$ I, W2 o! T1 ~* c+ B. E
A.差错
  r4 t2 n4 X+ q) \$ dB.正确
: b- O) Y- _8 S6 q% J答案:-1 S- G% y; `+ H+ V
5 B7 J4 X9 i3 y; N; \& q" X4 N( o
8.若f∈L1[a,b],则几乎一切的x归于[a,b]均是g的L点.
9 `; y( Z# b  G% S2 V2 yA.差错
* P$ I, q- X+ i2 k& ^B.正确0 i" _3 b1 v! G5 I, o7 @
答案:-
  d+ S4 O) d) Y, f
4 v, M' E1 j6 n) l( r9.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。$ ]3 ^/ p( o) _5 ]
A.差错( q7 ^8 N0 E8 p( c. L
B.正确
/ u7 E7 @  E; C( L" H答案:-
/ y: x  |/ Z7 p. }; F; ?
( l& C4 u  h5 K# K8 S0 V2 F6 J10.设f:R-R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
, A7 d% O* @+ Z" nA.差错5 h4 N( M* Y' S/ O) ~0 ^
B.正确+ L$ a/ _6 q8 ]; b+ S
答案:-9 `# S9 w( v# Y# P' Z

- J* u% \  M/ S0 Y  q% S11.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .! z8 f/ N4 p$ D7 w6 l
A.差错( f7 ]9 s4 w3 h0 w( B6 f4 X
B.正确
" N- d/ e; L0 L" f! P& e答案:-+ ]5 `" X: R4 b# D

3 Z3 @  E1 n- K, L12.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有必定接连性.- _, @4 Q* `5 o; q" y0 h3 r& o4 w* R0 ^
A.差错: c5 z5 Z! `" A  L. B! X2 N
B.正确
" x0 H; C' T8 E* _4 R答案:-
$ b! g) f1 O; [* \5 X/ D# L  q/ @
: Q* Q$ I5 Z, }6 \' n8 B: h13.若f有界且m(X)∞,则f可测。
+ ?* T- m# f9 j( b3 ]' Z: uA.差错) s: F  F3 {1 I8 i3 R$ U! |
B.正确
; Y9 t( q/ Z+ |. j& I, E1 n答案:-; |0 X+ i3 p, P8 U. ^
( E% H1 N% L( W3 t: W' J
14.设f为[a,b]上增函数,则存在分化f=g+h,其间g是上一个接连增函数,h是f的跳动函数.& r# J, J) }6 L6 a% b
A.差错
6 p* _1 F. T: z' N7 NB.正确
! P3 `) R7 F. b8 H答案:-
4 ~0 Q* F7 w8 P9 G5 J4 I* u0 n( r) g4 z) n' P% C7 `
15.积分的四条根柢性质构成整个积分论的基础,而其导出性质是根柢性质的逻辑推论。
# M4 V% R/ G' \3 g9 UA.差错
) L; X$ i, j7 _4 [- i8 k! a8 n+ DB.正确5 z- J0 J* V, c( |7 W0 |
答案:-
/ X, i" k3 H- v/ C7 l" ~
/ L2 x3 b' T8 F16.L积分下Newton-leibniz公式树立的充要条件是被积函数为必定接连函数。/ M9 M! C4 b  _
A.差错
0 b( X' O( k2 E% q7 E' [$ n  QB.正确" P( K; k; N, Q  r" |
答案:-
3 N# w: B! M( p- q
4 C* X, d6 O+ H0 g: w, Q. `6 D17.f在[a,b]上为增函数,则f的导数f'∈L1[a,b].4 y! t' k2 Q5 x) x1 Q6 D
A.差错
$ R& Y3 K6 o1 F  P* _( MB.正确
8 i9 |7 b. m6 O, O: b9 K1 t) o3 r& w答案:-- Q: K8 `: B- I6 G- r

6 C0 U2 I$ g' l4 X& T" l18.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
" L7 h6 K1 `: Y0 I3 w: |- O6 xA.差错% t  p, X7 W( H* a) ?8 W" w0 ]- D
B.正确; o" C6 Z' y" E! A+ f9 x5 o" _
答案:-
# d- M2 N3 S5 J3 a6 c0 |4 {# u
( Y  Q0 _9 L4 |1 Q$ {" y, x; \! v/ n19.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .
! @& f. F! V- a. I/ Z% YA.差错
  W& A' s/ e( A6 rB.正确# W& i, |' D, ?' W+ ?" O
答案:-0 I; r2 j4 t! [2 e7 a; @- E, |

3 {8 X- t3 t8 q4 U' ]20.若f,g∈BV,|g|c0,则f/g归于BV。% Y2 @, ]; r: X- k
A.差错: N+ W. Z. b; x: }2 ~4 Z& r+ }
B.正确, t2 u" T$ P/ w1 L! a* O8 J
答案:-
: B( V& ]7 c$ U; V7 `% Z
. j+ ~' T. b  E# R21.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均归于BV。
' ^$ p1 @) H  \0 i; s; dA.差错
. F  \+ A( P) W4 pB.正确. [7 k: ]& v. h3 J7 b
答案:-9 p9 G$ G) }! E1 e+ r$ T
4 b9 \2 Q9 w. @% M& w
22.若f,g∈BV,则f/g(g不为0)归于BV。0 s; a1 A# v4 I- x* K
A.差错# `6 L( _$ @4 [2 V" F2 w$ j
B.正确
; T1 }& b7 f1 O. n7 p; g, a答案:-6 D, P' J4 s, ?! z0 i

; d2 X2 h+ _* r23.f可积的充要条件是f+和f-都可积.' ^1 G, U5 X2 U
A.差错
: H: t' W% S" `: ]B.正确+ a$ G$ ?0 V$ ]4 i. c- R2 q9 M5 v
答案:-
$ m$ t! x; K9 B: G0 Y
9 Y1 o9 _4 W- H5 P2 q9 z24.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.
9 c  P8 F: G3 K  G, x5 Q- S7 pA.差错  w' O3 k  k+ q9 W3 G- e& O8 B6 Y
B.正确, y- \& r  W# f" c4 o9 i4 t5 e# N! ~
答案:-
0 f6 i; O% g) W: F3 M0 c$ t4 G6 |6 a
25.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].' U! h; F5 T7 n0 m1 R' P
A.差错
+ W3 A1 J/ h9 q* a; q& A. kB.正确
' J1 C8 a3 {: \5 i答案:-# |* p; @$ G4 a" a/ ~. W7 g
& j* l' j1 ?8 W- w/ l$ q+ w
26.测度收敛的L可积函数列,其极限函数L可积.* ?. U, M+ W3 G$ k
A.差错& _: ^1 \9 r5 i$ P& a# [
B.正确
1 A& I9 [- s; g/ o/ l. @- b5 n- B答案:-
4 N2 }! D/ f  w  s& _% i
2 s' n$ C! P/ |' z27.若f∈BV,则f有界。7 d* G9 m8 e, X1 R8 v$ c5 x  I1 w
A.差错
& L" O; G: e) w' X6 W* y% LB.正确
3 v3 t' l( r, ]答案:-
  p/ y2 t" C' |5 H: E3 g# L* K8 C. w! C0 W  Y  Z' y" L
28.若A交B等于空集,则A可测时必B可测.
; b  q5 p7 f+ o- uA.差错
  ^: c5 W0 @9 \9 h7 m  mB.正确
0 M7 `9 b0 G9 v( l$ h; i答案:-
) c1 @( O% L7 H! k9 ]( X) Q
, v0 @* N, [2 N/ I) {+ C3 J29.共同收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.
* F9 r0 ~9 V, s2 n( Z. y+ fA.差错
7 m- b% ~* f8 v/ X4 FB.正确& X2 G0 p/ v) q
答案:-
3 z: q' o0 g2 x6 i
+ i' G# [2 w* T; Q( {2 f% C30.使用有界变差函数可标明为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。9 L' b+ Z% }8 B$ R" a- e; I
A.差错
$ ^- [9 U& v6 O3 P$ F" s* ?3 [B.正确
9 m' g/ }, x7 R. f答案:-
8 c; o/ Q$ }) @9 w
1 w/ b/ |/ h7 i31.集结A可测等价于该集结的特征函数X_A可测
: a6 i% p1 c" Y4 o% r. wA.差错
( q$ l6 c5 W: x9 u6 Y8 qB.正确
; w8 V2 z" y) p  t答案:-
& N6 v! _' o: u. V5 s1 f+ L1 `6 z: S- W; s( R  d
32.f可积的充要条件:|f|可积。- M$ k9 b1 H6 x
A.差错
$ j! M; o3 K5 B) x3 O: IB.正确
; C# E/ r, `8 @  T% z答案:-
$ [% K9 z8 U6 t& R# T9 O1 M4 t% q6 A
33.若f∈AC,则f是接连的有界变差函数,即f∈C∩BV.
& i* |% g$ {) g3 k8 H8 aA.差错! J4 s6 V, k8 `. _) m' G
B.正确5 ?  j) d' k" V0 A
答案:-
3 E( e! h/ Q# ]  e% m2 c, P9 G5 m, O' e* D  @" Z
34.三大积分收敛定理是积分论的中心成果。  z( G" o, ], p$ _8 D: X
A.差错" q: b; O- N) l( ^7 p
B.正确. B8 q* D. L8 n: M
答案:-3 s: _9 r9 n  f7 q9 }6 d

: }0 m: h& N2 e: Z# d35.L积分比R积分更广泛,且具有优胜性。
' _$ V. C" P9 ]0 B+ P. xA.差错$ K) m! l3 [/ q1 b2 Z
B.正确# e2 N' I) w7 Q* p
答案:-
& P. e' q7 X7 @& W5 J/ Z* K6 z3 {: L; k0 B; N0 M( {0 k$ A  l2 T
36.若f有界变差且g满足Lip条件,则复合函数g(f(x))也是有界变差.
8 k( i) A: f! B, J. }1 G0 mA.差错
% w8 G; G; s) KB.正确5 k0 c5 c7 f2 J4 W& o
答案:-
" w7 o+ Y, P; j% i) O  C/ m* c, Z+ E$ N0 Y) T# \" v: h
37.若f,g∈AC,则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均归于AC。
1 y2 C" Y3 g, y) {) _9 qA.差错
. a6 }+ ~" i* C4 L3 N7 {4 yB.正确& V( p7 T# R5 H: q; y
答案:-  Y+ s6 Q- E, }" f$ @

* {) N; _3 l4 b% ]" C/ {( Y# _1.有限个可数集的乘积集是( ): j- ~7 o- z2 E. `, m& p6 c
A.有限集1 |. k' u- `# i- v
B.可数集
( y  G; T0 i* c  z  C+ dC.有接连统势的集
- [4 K/ _. b) q2 TD.基数为2^c的集
" [& l: T0 M4 O; A7 K- e9 y答案:-3 r3 z5 e- u3 c3 E
0 u5 n7 Q* l$ y5 f! S
2.下列关系式中不树立的是( )) n5 u, B# i& |1 E8 Y) y
A.f(∪Ai)=∪f(Ai)
) w0 B! K$ M4 v1 Y' u& aB.f∩(Ai)=f(∩Ai)4 H" y; c8 o" \; x( J6 k; H) [
C.(A∩B)0=A0∩B06 y2 l4 u: _/ W
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
" m# W& H9 M( s9 {答案:-2 g# F+ n# V3 K. S" A& j
2 V# b8 M2 J- t% z
3.开集减去闭集其差集是( )
) f3 k/ t  [+ ?* N" pA.闭集
. T9 F8 h% B5 M8 {B.开集' G8 P7 Q/ I6 A1 @
C.非开非闭集
+ w& F1 u) `+ V# k2 z( QD.既开既闭集
9 H3 n8 t" J) |+ r答案:-" _8 M: T- q- g% q0 [4 c

6 u$ w+ I7 h5 H  h% H5 `: c9 V4.在( )条件下,E上的任何广义实函数f(x)都可测.5 u" D  }5 Z/ N+ m0 ?5 ~
A.mE=0
5 w- F2 c) Z9 `# Q. Z' }B.0mE+∞
' D6 w# ?# V! _# qC.mE=+∞
, K0 s" K4 k5 u! D$ _+ uD.0=mE=+∞
3 z' p- [" W! M/ E8 V4 X8 b答案:-
4 y  \. }$ T5 K' x$ M: |2 Y3 [7 @# H9 T
5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的
' k% o+ w) H  q+ F/ ?A.接连函数( c6 O  I0 `# K: V
B.单调函数, ~. U* w0 ?: U. f# K, e: s( H
C.有界变差函数; t, V/ r- V& f; R6 v! ~
D.必定接连函数; |# m8 A- G5 d( B% a5 M
答案:-
  W( R9 ]5 b( i7 I9 v: y& y5 P0 v8 A
1.设E为R^n中的一个不可以测集,则其特征函数是! J" D( \) }9 A$ U
A.是L可测函数/ V- J! X: Z' \2 P
B.不是L可测函数
3 j/ ~- ~4 x6 d  @( u7 _C.有界函数
& ?) k* ^( t2 O& p! E" q' }D.接连函数
" \$ @+ I, C5 o& J& l& y答案:-
8 Y) |! D' Y4 E( Y/ F. W% n$ `+ u1 [, y0 Z* t9 m
2.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )/ u' W4 {" j0 ^0 V% y) f: r; }5 D
A.f可测
- j7 A# l0 p" D. x% U- J* oB.|f|可积
( r$ M, n1 D' cC.f^2可积$ x- l* ]# J1 T4 s
D.|f|∞.a.e.
, V" Y0 W7 ^- ]+ m& v答案:-
' b6 v: Z! z+ h
( z7 K: v0 n, u, e! J3.A,B是两个集结,则下列正确的是( )
3 D8 x% A9 u3 WA.f^-1(f(A))=A
  Y6 G- B0 I4 Z6 QB.f^-1(f(A))包括A
9 n8 n- F% L, w4 aC.f(f^-1(A))=A4 D  T" ^7 ]5 |* \8 Q- {: D
D.f(A\B)包括f(A)\f(B)5 f6 G% [) w$ @. I$ C7 u8 d$ r
答案:-6 l/ T( u- A4 }1 r: ^+ h
) b3 i4 L# M' h2 E3 W, B
4.若A 和B都是R中开集,且A是B的真子集,则( )
- @: v- ^) s; Z- G0 dA.m(A)m(B): M: H" C% E* F/ p# d' A
B.m(A)=m(B)
9 B+ B$ ?/ k( b7 J5 RC.m(B\A)=m(A)7 H' @  @/ N- [8 w
D.m(B)=m(A)+m(B\A)
( p4 R  @  ~. {/ t' W答案:-2 F8 ~* [; x1 F; F: c9 Q' V

+ \+ ~) w6 m& R5 o1 n  o4 Y5.设fn与gn在X上别离测度收敛于f与g,则( ); i+ x# n' Z1 Z) `! J3 ~* O: y1 l$ @
A.fn测度收敛于|f|6 j! F7 }" W$ a3 X% B  @1 V, v! j
B.afn+bgn测度收敛于af+bg; A2 t$ J) R5 {. O4 g
C.(fn)^2测度收敛于f^2+ e# O) q; h+ V9 _! Y& T
D.fngn测度收敛于fg) G$ M# E- U' Z% i# V
答案:-
' w: G* f0 @! @9 o/ S9 C! f
4 f$ }; @; |$ h5 s! j6.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则
* g. s+ P7 P/ j+ z/ I) v: l2 UA.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
% m' U' F0 ^4 V) D) ^B.若E1包括于E2,mE1=mE21 ~2 g! F: T" u" e/ [/ _
C.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
. [: t" V5 ^5 V0 Z答案:-
4 X! p7 V$ `- `3 u  v; u$ O- x. u8 Y' W( o) \
7.在R上界说f,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0,则( )% A7 b3 R. Y" f+ Y
A.f在R上处处不接连
2 Q+ j* ?9 Y6 v9 I+ Q) N+ ?* ~B.f在R上为可测函数& M  B6 O/ w# K  y9 `) D, {& L+ K: F+ M5 j
C.f几乎处处接连+ w7 B& b7 z0 L# b& z2 {6 X
D.f不是可测函数
) z' U" F5 s* g3 `) f4 }6 l: r% E答案:-
& N$ W* [) Z: ^. |* E7 ~$ @: g4 M3 {. C7 `9 }+ v: H% l+ q
8.若f∈BV[a,b],则( )
  S1 j, ]# {1 V' IA.f为有界函数: T0 y! @& k3 A% ?, r# J
B.Vax(f)为增函数
8 x6 B; r# p7 @% i" }- Z8 r( AC.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)4 E/ M. M0 \; D& Z8 ?
D.f至多有可数个第一类接连点
7 x* r& ?7 p1 J8 q' c答案:-' V* W) A: z7 `* D$ D4 n

1 D+ P1 U# m& J6 O+ E' m: A
$ t+ w3 o9 @$ Y* ]




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