福师19秋《实变函数》在线作业一(答案)

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熊猫奥鹏:福师《实变函数》在线作业一-0004
7 M  m8 o/ b, n0 X7 l1 Y* G1.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].) h* A- v4 U" d2 g, ], `
A.差错: _4 L* T) L  h+ t% }
B.正确% k" b0 ]6 J, z6 ^; s4 w& k8 G. h
答案:-
2 M& C% }) R. K( |2 W. d, F6 K0 q: l. i  e& L; |( N: v
2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.- g6 Y; m7 h" N
A.差错
. K" e  _6 r2 N0 ~! x% sB.正确
) @/ M, i! ]' _+ e5 {答案:-
$ k1 u) r& j+ ?: u  T1 o% d8 ]( X/ a7 ?  z5 c; n6 Q" Z- \9 q( i) Y
3.若f,g是增函数,则f+g,f-g,fg也是增函数。% b! c" {6 \) p) S( U/ c0 I8 o" o2 {
A.差错) G+ z* [3 Q3 j, M7 G6 t  n. `
B.正确
( B3 v6 _; C& S" S5 U: E答案:-
% a: U6 ~& }. G0 x/ y7 d) \$ @# Y) A6 }! V: Y/ Q
4.若f∈AC,则f是接连的有界变差函数,即f∈C∩BV.
1 u2 V; `# k4 f* h* J. y, e1 rA.差错
- Z6 q& x( F( v8 c2 ?6 _B.正确1 P  [5 c* m! m% m: r. _
答案:-9 F% c. c* c4 \/ |' R( y7 H

  ?& l! R: t7 j' P5.若f有界且m(X)∞,则f可测。
" R/ @8 F! }/ ~2 d5 F$ M5 FA.差错, V9 ~% h( s/ V0 r' r
B.正确
$ K' O: t2 W3 x* X! V0 V答案:-
) ]7 N- D: |3 p
. g7 H' Z; Q# s5 I. v. w7 z  e6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。+ j% i$ u0 p1 X2 q5 e* J+ O7 k" r6 i
A.差错- G) ~$ z5 [3 Q
B.正确- u2 @% j& X% ?8 {' ]; L, p9 U0 T7 @
答案:-5 E  [. S. d% Y" t2 K: A* n( {# v
8 L' c" m* g' s) Y6 @' K
7.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均归于BV。
8 o0 L9 u9 x6 a/ ?A.差错2 o  P, d9 S( D; C: ~  _3 ?
B.正确1 C( O3 U! a4 v$ ^7 n; E2 e
答案:-* X6 `( q" x+ h# v
% X& l( p# C* S( Q3 |
8.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有必定接连性.3 k1 X; P2 S9 c  ]3 H
A.差错
0 v1 V$ n/ I* w$ {B.正确$ f0 |- K# w9 k0 n* E  c
答案:-
$ e8 i- o) @& i2 o: i- J/ j! @. X( G
9.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g归于BV。
6 i8 Z  E% Z9 ]& u' H& z& P- }( N: LA.差错7 X1 X  b- m6 V# e0 P
B.正确* h% t# w$ t- V3 n% Y; _8 G
答案:-2 R; q1 |3 |% P% o( Y# S: F
7 T) p# ?7 G/ i
10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。
7 X7 L2 N% ]; {A.差错
% i+ \5 H4 C  u; sB.正确1 C: F/ T# ^9 t2 V( o0 a. p
答案:-+ B2 }# d3 H, |. w9 n& x

. J. S2 d8 N( S4 D11.测度为零的集称为零测集.* V. \' d# M8 [, ^2 J
A.差错
& Q' y1 V# a: I1 _6 Q( lB.正确
  R( @. V( b8 n4 j% Q答案:-9 m* p: J1 l0 i! T1 P% b0 k
( M2 U, g1 `4 q# M4 j- t
12.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .& G8 ?5 i# z" j, Z3 f0 c
A.差错3 J5 k3 E; r4 k. G9 F
B.正确3 B6 E" @* F% r4 a# }5 W  Y
答案:-% a" Z  S( E. P/ ~" A1 z+ `

" w3 B6 ]  z" A  p/ f! b7 r' Z9 w13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处接连.
. Y" U( D# f* o; J) AA.差错/ w; `! c* c1 g3 o; ?9 e3 p. S
B.正确
* j$ M7 R) `  \2 e; |: g答案:-5 ~7 X' V2 u) W" u6 I+ {/ D' K

) z- {8 f+ F' e14.若f可测,则|f|可测,反之也树立.
8 e/ R4 T( A: [' I4 |" UA.差错, v3 W0 L" I0 q8 L& [$ y
B.正确% l) c5 T3 |2 \0 d% |
答案:-& W) U+ u; n" p$ [+ |3 H  Y8 M

. d; i# v0 d- S# o8 J15.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。6 w: G! C" y. q1 R  F
A.差错
: O' d/ M9 v5 HB.正确
$ _; i# t% c" F0 X6 l/ j0 ^答案:-! l# j4 _5 M3 F4 y

$ p1 u* ~  F" s9 I, B( p1 N- a9 k' n16.若f_n测度收敛于f,g接连,则g(f_n)也测度收敛于g(f).3 U: |) ~, |2 V( @, P) b, d
A.差错
% r+ _7 M0 i+ i! JB.正确  V5 \* ?; c% a% }8 s6 Z; y& {
答案:-+ g- q  b( M  ~# o. k
9 Q/ p( ?! l+ q2 w
17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上必定接连且在[a,b]上几乎处处为零.% ?0 k1 K! r& _
A.差错
# J' Z+ I  K6 c( y& BB.正确
" q* W: B2 m; _  l答案:-/ e  ~, a& h9 ^) V& U- H
) f4 x/ L6 @0 [
18.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞
+ ~6 _6 f  E3 B& m& b8 S. {- tA.差错
1 V1 u/ u3 t  h( i3 v) e9 I# {B.正确
% M3 w7 V1 b( u5 [5 @答案:-
. r  t! p2 w! Q, T$ y' h. R* L; m) v' n; Q
19.当f在(0,+∞)上共同接连且L可积时,则lim_{x-+∞}f(x)=0.
! K  j1 R" b* y1 `; ~A.差错
- N3 G; a# b- z& c  a. VB.正确
! a- C" G+ |( B+ o: Y# ~/ b答案:-
7 U. c  Z' `5 B4 p# C3 H
, D' v3 h0 ?2 z' k20.若f∈L1[a,b],则几乎一切的x归于[a,b]均是g的L点., |  t, g7 Z1 I( M
A.差错
% q( A1 {, M' [: F$ @# A" `B.正确% Q6 F8 ?2 S; k: w. m- J
答案:-9 T. [$ a) ^7 i0 x) O% K
) Y! ~2 ^  U& V7 @+ m
21.使用有界变差函数可标明为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。
" t' Y7 c7 Y' w2 kA.差错1 F( ~; h# W$ i+ v- T3 J7 y+ a
B.正确
1 P' h8 h5 O  Q; C1 V* |1 @答案:-
4 I* [; ?, j1 L" u# o# i% g
3 k& ^4 O  U; W! q% G22.三大积分收敛定理是积分论的中心成果。& D9 z! q- M  L
A.差错  K2 c/ [$ M, K, Q6 W
B.正确
0 `: u9 N7 J) `& @- T/ c3 v答案:-
+ K' g$ o# h4 C# C" `8 I8 `# R
( g" z0 P0 b1 u" w4 O23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|=n)]之和收敛.
* ]. t% ?! m6 Q! Y' b9 wA.差错
: x  K; {. m0 ~% a) ZB.正确
/ O" {6 H+ H& o$ p' D  v. u答案:-6 J4 _2 ^+ P1 G+ l

( Q( ?; V! F) I  b24.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.
& j; d" F# U# R. C. Z' ~! NA.差错
2 L2 b1 F* s) E0 vB.正确& I1 N8 n0 p+ r+ L3 {1 ~7 h
答案:-
6 ?2 \: S% g0 A9 c3 d
7 N: m/ F1 c+ R) z2 x) Z0 ^2 @25.不管Riemann积分仍是Lebesgue积分,只需|f|可积,则f必可积.% r" `( I* {1 n- Y
A.差错
: P6 R5 m" j& T+ X. S' ?B.正确( V$ O' `& \: F2 D
答案:-$ U5 A8 y, w8 O( V
+ l1 L5 r0 V( ]
26.g的接连点是L点,但L点未必是接连点.* T) g! B) _$ |/ R$ E
A.差错" Q$ D5 G9 i- y+ r' f
B.正确
8 R, q" D  s( H: F1 A答案:-
  G9 W/ X& F: g; V$ }
1 e% I9 Q) n  {" F$ g27.接连函数和单调函数都是有界变差函数.0 g0 d' l. O4 @" ~# G, s
A.差错& {5 V( U2 y  m6 P) Q% k3 `
B.正确/ L0 \( |& `9 y, H: }
答案:-
5 z1 I) X9 N& X3 ]- i- |$ m" P! a1 C/ _: P4 m( S( b9 ~: R
28.必定接连函数是一类特别的接连有界变差函数。
3 o5 H' W3 M1 P( E2 u, JA.差错2 M- T; w; M" @. O' c* [+ x
B.正确; H% j1 B% G3 U; B, V# S4 F
答案:-5 u9 z6 _5 a1 l  m
0 Y4 ]3 E! F: L, k7 B/ T) t- F
29.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .# D$ a5 a' W  A# d8 c. r- K
A.差错0 e. [4 L6 ]4 ^) _4 F
B.正确- ?. S+ p) t" n( u! C* h& o% _# u7 o
答案:-
; ?9 d( T- ]; Y1 A% m( w+ @5 s8 E) U$ J/ l9 ?  S
30.设f:R-R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax
: l  L; l* m& t( Q& ?# @5 Q; p: ?A.差错
& ?# E0 A/ u: [" aB.正确. V# x! F- t; m$ K
答案:-3 S& J% r& V* [( L! N2 L3 k: Q2 n: O
0 |; f) g: ~% E  l; r% O+ C
31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
& R3 z6 R* f5 w. r2 y7 N0 `2 ZA.差错) r9 R- U$ C( j9 I: k* d7 ?$ n
B.正确
* `. Z; z2 P8 U6 B8 R: g5 U答案:-7 a% G0 R( z+ r, L2 e6 R; B3 m

* p6 F' {, s& E9 P1 e! x8 ~, j4 a32.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.
/ ?3 g4 U/ @6 z% B/ x" d$ bA.差错! p* {0 J" ~* M6 ^1 v8 b
B.正确* L- p# D1 e' l  Z
答案:-
; T3 v% a$ x! F4 W; K/ \3 n. V7 {# w0 @3 n* O- t
33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
$ V! W  r$ H, d; b! j3 o& s, yA.差错
( h9 N) F7 y6 v- _B.正确( ]0 b9 @& g- M+ x! d
答案:-
% H1 F: ]. a' e4 a" }3 B0 z& x% L  A/ a" m# X) c- R) p. w5 D
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。
4 m4 C2 F! {( E; V. Q7 ]A.差错; N; g' i0 D7 k$ M
B.正确1 h# T6 @2 k, b, R; q, M) U
答案:-4 y  M: z  x9 t: ?( X

- N! g( m2 Y, \; @0 X. [35.有限掩盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开掩盖,则可以从U中取出有限子掩盖.# D% D4 c5 W0 s; a8 |" P
A.差错; I+ |: i- M+ s! Z
B.正确, d5 L1 d1 J3 k! p3 u5 T
答案:-
, ^; D& p5 e7 B5 V+ P: E8 t! _8 X' S+ P3 \4 g5 H
36.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集.
1 }6 q- k1 B' ~4 L$ s# L: N7 zA.差错
3 v1 J; i: Y  N' _- zB.正确
1 ?  [" x& ^' R/ X2 e答案:-
0 s3 d9 k& O( ~- Q2 m- Z! q& a1 h" T2 _. M3 q/ E% S
37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
7 R6 T4 {, W& J6 b1 _A.差错
3 V$ r$ U% Q' }: C( R# c; g8 fB.正确6 W, z% B. X6 T; Q" @, S0 y3 p( z
答案:-/ `$ U8 s1 _# e+ k. Y7 H

$ P' l0 O! O7 k7 m9 w5 \1 x1.fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0( )
" }6 \1 \# i7 x, O2 Q; nA.充分条件/ l+ F! Z, v2 S2 _6 }5 P, \6 d) Y# b; M
B.必要条件
8 X; q7 D# G+ `& n6 m  ?C.充要条件1 Z; j( O6 s8 h' @& R4 W; _
D.非充分非必要条件
$ o/ c( l! G# ]% D3 o3 t答案:-  o( ~+ z+ R/ \* t6 V1 Z7 U
7 T; E1 ~+ i8 f
2.开集减去闭集其差集是( )
# W1 F; Q7 z, H* x4 u# B! E' p- }A.闭集
6 V7 J& f( V# vB.开集
5 c1 h: }1 o& T) A7 j8 T8 AC.非开非闭集
  w6 |  \4 e5 r) gD.既开既闭集
) F' D+ Y# W+ D: Q% [0 v  A  L答案:-! d; v5 m0 C& P1 K

, ^  c/ q% T9 `+ o! G3.下列关系式中不树立的是( )
. C; ]5 d, x* R% `# G; fA.f(∪Ai)=∪f(Ai)5 L" U2 u& P6 O
B.f∩(Ai)=f(∩Ai)
) [% ]/ i/ }2 v7 K/ h$ EC.(A∩B)0=A0∩B03 Y+ {( l4 S' U6 A* B! O1 E
D.(∪Ai)c=∩(Aic)
. |6 C  ^3 p! u答案:-
1 j* D* q+ i+ k4 o4 E$ q% T
/ h: K. O# |3 d4.fn-f,a.e.,则
: g2 u: g5 j9 z( I4 jA.fn依测度收敛于f6 v8 z! J) C/ Q$ C
B.fn几乎共同收敛于f
3 Y  K) Q- X5 @  qC.fn共同收敛于f
' K& d& K* G% P" z6 sD.|fn|-|f|,a.e.2 K5 e  b7 Y  e4 J) k2 R
答案:-7 y- c6 ]4 T) ]: Z; ~: u4 e
4 q4 p2 v2 W$ M
5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的: A- Y* u3 Z/ B9 f
A.接连函数$ G" R' }/ Y# g/ v: ~
B.单调函数
" R: Q* t) L. @+ @1 rC.有界变差函数
3 y: Q: D6 a+ ?2 d% q3 m  D4 m" HD.必定接连函数9 w( X( g& B% k  d7 {
答案:-# `+ M' g) o: ^. K0 Y' Q

  `  |0 s3 b! y# ~1.若f∈AC[a,b],则( ): B& `+ b5 \' ?; k8 t+ v6 C: Y
A.f∈C[a,b]$ Q! Y# d) P- K( X  q9 F
B.f∈BV[a,b]0 D: J& T$ i- w8 `; Q
C.f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
3 b' R$ K/ T6 e: A2 DD.f∈Lip[a,b]
2 `: H8 W/ x. u$ \答案:-
$ t% ^9 j% b4 K0 H, V$ z' |* h. |# E$ L, R; E/ @3 x& S" k
2.若f∈BV[a,b],则( ): n! q* E+ ~6 X' n( N: C6 H
A.f为有界函数
. M+ }3 }! o% j, LB.Vax(f)为增函数
/ _4 g2 Q" }/ Z  ~% L0 YC.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f)5 _2 u1 I5 h8 P  u6 h3 Y* R
D.f至多有可数个第一类接连点
3 k" Z  w* @; J答案:-
8 |* v, }& P/ ~) \/ X# Z  j- F% a7 _, G) {
3.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上+ o6 @% y" T/ m9 {. M, ~5 A
A.有L积分值8 g% q. w" I% k9 v# a% W" Q
B.广义R可积* G/ Z: ?: p4 W: Z0 t
C.L可积
$ y2 I# Z, U! ^4 m3 L+ Z4 q+ _$ qD.积分具有必定接连性
8 q! @5 p! q9 |% O8 ?1 ?) w' f答案:-, s# A; v; _1 E2 E# Z

+ b2 `8 W: W2 t! e4.若f,g是有界变差函数,则( )
  Z) w7 @8 H6 c" AA.f+g有界变差函数  U8 P7 V/ E# s2 ^6 ]' i* Y$ u  P
B.fg有界变差函数! l  p& G0 b- x( O' e
C.f/g有界变差函数
3 a3 a( c1 |9 b0 q) GD.max(f,g)有界变差函数# ^1 G, A# J4 Y
答案:-
0 x( x6 L' J5 P! A0 K
3 E* X0 u( B1 {/ s$ ~+ n5.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
9 ?% v8 f5 m# n5 OA.广义R可积- v0 e7 J3 B5 ~# ?' H0 M/ @
B.不是广义R可积5 ~8 g: [- L$ Y# r6 j7 ]  q
C.L可积" w' l) F& E% ]
D.不是L可积/ |7 x7 Q2 _3 ]- I9 l) r
答案:-
0 g6 ?" R! l1 |" s& e1 q) M3 J
5 }4 B, v+ Q: `. Q; @! J/ U6.若0=g=f且f可积,则( )
) y/ i2 o( m, a1 _A.g可积
/ {7 x3 L! l7 B* }4 JB.g可测
5 ]. T- Y* [& _3 _+ ~C.g∞,a.e.3 r1 E( h0 Z" F1 Y- u! s
D.当g可测时g必可积9 J7 B3 U8 m2 R7 D
答案:-
% U5 b& [( g/ [: t/ O" p& c7 X8 I& k) m2 z: S2 ~
7.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则
5 {  w8 @! F* Q+ B0 MA.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE2
7 f; [  ^0 O7 |2 h# JB.若E1包括于E2,mE1=mE2
9 T. A0 e, `( ~3 X, WC.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE1
* S5 w4 q  x9 s% _答案:-
: |! N7 w, p% G6 o% x; ]3 @& h4 ^- Q& U2 L( v
8.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )8 X' X; O8 P+ N) X+ {
A.f可测" p) e5 B" I4 G1 f
B.|f|可积
5 Q$ f; C, _/ k0 z2 @C.f^2可积* w* l7 e6 J) H- g, ^  ?
D.|f|∞.a.e.
) s( k6 R# @' O2 P答案:-, j- ?- O/ N) R

0 E, k. T" @* U2 n7 S- N8 i" K  r  H8 l6 r& g2 E) l




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