福师19秋《实变函数》在线作业一(答案)

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熊猫奥鹏:福师《实变函数》在线作业一-0004
6 l. }5 s& }# X% i. {* P1.f∈BV,则f几乎处处可微,且f'∈L1[a,b].! L' i& r# L& Z; j$ V
A.差错
7 d$ `9 _5 A* m4 X" YB.正确/ H, P! _7 h6 K. U" G6 D; U
答案:-- f& o5 [9 B  @

' \' ^' G$ C  R" }2.当f在[a,b]上R可积时也必L可积,而且两种积分值相等.
2 X6 w% [& V) S8 C* u9 kA.差错) {7 c, H9 f3 u1 G: E; J! M2 ~2 |
B.正确
; G  Z( ~, |4 _- x: Y4 v答案:-, f2 U/ k6 D& P

+ a8 m  p" H' K" v6 t- r0 I3.若f,g是增函数,则f+g,f-g,fg也是增函数。/ D6 s/ m3 d7 T! N
A.差错" V5 v+ d. h" R1 w! W! T
B.正确
/ B6 H" D5 ]4 `5 t& u答案:-9 m; Z& j  q$ E$ M+ o% B
+ z! j7 p. J3 H0 D# n7 ]
4.若f∈AC,则f是接连的有界变差函数,即f∈C∩BV.
: H; F5 a7 |# n, N+ E( [5 }- w1 cA.差错
4 k! N! A& {% O3 h9 KB.正确2 _2 O  ]) b  L3 Z- H! ]/ W3 x
答案:-, o' z, D" k5 \3 w* j  @" Y. Z+ o

- u7 ?) _$ \  K2 W0 k5 R5.若f有界且m(X)∞,则f可测。
5 R1 T# r1 o& X" Q+ v2 uA.差错, \$ F' V4 T# x% C% y
B.正确
) b- K* ~8 d6 Q6 l答案:-$ Y1 h$ {/ u( L6 i1 ^

& Z: Y: n7 Z& l8 L+ i; Y9 C- V6.增函数f在[a,b]上几乎处处可微。
8 K! ^$ [3 g6 R7 R: p; sA.差错
0 F9 p$ _. v/ e: \5 ZB.正确
- l- T: w$ X1 x5 O7 `$ h" F' w4 C答案:-
8 r' f) n2 u5 A: @3 U$ r: J- I1 l* I. I2 s! O
7.若f,g∈BV,则f+g,f-g,fg均归于BV。
' M: I: a4 y) q" uA.差错
5 g5 t# ]1 s( z% j/ IB.正确
/ s/ x1 \* `8 h- F答案:-6 C$ v: ]/ ~6 a
* a7 B4 j2 g4 U( [" {3 N# f
8.对任意可测集E,若f在E上可积,则f的积分具有必定接连性.
5 s/ X% {" ]; r5 p4 p9 E0 {) |A.差错
( |4 Z. y8 a$ IB.正确
% w. Y7 P* e2 C$ H答案:-
" w/ _& o% A5 ]; Q# Z; {6 Y0 Z" c" \" O" b4 b  R6 x
9.若f,g∈BV,则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g归于BV。
9 c0 _" k5 \7 G) i9 xA.差错
  T" G# j" d! \3 S( q! CB.正确  ]0 }1 D+ \7 u7 n! i
答案:-
+ [2 K. d) a7 V% n2 b4 `* L  F* P, D+ g3 Z5 U! n6 k
10.若f∈BV当且仅当f是两个增函数之差。7 I  c$ ^" s; P( k; E5 Q/ @# B
A.差错
, _1 m4 Z( E  R9 J/ GB.正确
( x1 k) ^, n; h# r答案:-9 y# p, d4 D3 S7 _" {0 e/ ]

: t& Y% }! n% S6 n- a& Y11.测度为零的集称为零测集.; u2 {* e1 t# V
A.差错
9 J7 i- J% L5 W- OB.正确+ i& n, b/ D: m" S, v8 _7 N; h7 B, n
答案:-. v+ C- r( l% ?) k
- R, a' Y' D9 i1 Q
12.存在某区间[a,b]上增函数f,使得f'(x)在[a,b]上积分值∫fdxf(b)-f(a) .+ \: c- ?* w/ X' U& o2 V
A.差错, b9 j/ b! b; m9 S8 k# C: |5 C
B.正确3 I9 b0 d4 q% g0 w5 l
答案:-
0 L9 @: a2 V' e1 P" E( X' F2 \
: h7 F7 H3 ], P6 T4 O13.有界可测函数f在区间[a,b]上L可积的充要条件是f在[a,b]上几乎处处接连.
4 p9 h4 u7 o! h1 n; YA.差错2 y1 C3 M4 W+ I
B.正确: `( w2 U2 [  B- t3 a$ N
答案:-
: C9 r2 Y4 ?+ `: K, j/ q3 p) Q/ I# p. X: |1 b
14.若f可测,则|f|可测,反之也树立.% M% a, C+ R+ A' ?
A.差错' s& u) Z: v9 n4 U
B.正确% b2 d1 Z4 Y1 w$ f, b
答案:-
$ l, W/ A) e; n. Z. o
- V' m) a; `8 p$ }0 Z2 r6 s15.f可积的必要条件:f几乎处处有限,且集X(f≠0)有sigma-有限测度。2 p" A+ c& c5 ^% o% B% S/ m' W
A.差错
6 x: U; \% @; c) u. U3 bB.正确
; y; n. E' X& Q6 T1 ~, ^  X答案:-' i; D/ v( c4 E9 f  s
6 U$ Y# j4 q- V* K' A
16.若f_n测度收敛于f,g接连,则g(f_n)也测度收敛于g(f).
( u5 B& K/ f2 j/ P5 eA.差错
2 n2 L0 H& a5 _$ u4 h' ?1 J4 {5 hB.正确
' F' ?% w  K, u; Y1 ~0 ~( O$ i! M答案:-% n) X: a! w; h2 `$ _5 m) X/ j

, Q3 F5 X( T5 U) D3 I6 u17.函数f在[a,b]上为常数的充要条件是f在[a,b]上必定接连且在[a,b]上几乎处处为零.
( J2 }/ r( U* ~0 }" CA.差错
* r  \; x5 q1 ZB.正确& v0 D. m. A4 d# i9 z) Y7 Y
答案:-
+ V! s& S- z  o6 r, m8 L. }6 P5 G! g* N& h. B- B9 c& s
18.有界可测集的测度为有限数,无界可测集的测度为+∞
4 t- U1 m$ |) C: FA.差错% @/ A% r5 d& J7 l# s
B.正确  k' \, r3 f+ b) G8 l
答案:-4 p- _) D$ ?  h! @9 \
; x" a9 D' i: d) I
19.当f在(0,+∞)上共同接连且L可积时,则lim_{x-+∞}f(x)=0.
# v8 H2 h( k) m6 x: |5 p" d, dA.差错
  q6 S3 ~7 H& Q7 c7 p! w* fB.正确
: O- w' Z4 {/ |; e答案:-' U0 b. j% }# J3 T
5 t2 L3 j% X" B
20.若f∈L1[a,b],则几乎一切的x归于[a,b]均是g的L点., p/ ?: X, F3 T7 l
A.差错
3 g6 Z+ j' ]& n( S: hB.正确6 ~7 ?2 b: u: b+ C
答案:-
! J2 a' d) P3 S' Y5 Q  O0 W; n4 N! F# d& C  N2 g
21.使用有界变差函数可标明为两个增函数之差,可将关于单调函数的一些结论转移到有界变差函数:几乎处处可微而且导函数可积。
* [# T( e8 N: b. U& \A.差错
1 o  k, ^  ]* N" Y- K$ DB.正确
( m) ?, T* u2 z4 W' `3 Y. a答案:-
1 F% n( Q. v$ D0 t6 u+ V1 D0 G" o6 f
22.三大积分收敛定理是积分论的中心成果。
2 l! K$ R, r1 w. I+ H: m4 d9 MA.差错
, I# t# `/ J, n3 p3 y, Y! nB.正确
- o1 J$ I7 x, Y* ?6 ^! u* N答案:-
+ v( }$ u) }$ G5 I9 M7 J5 g& I8 C" T2 J7 F8 F
23.f在E上可积的充要条件是级数 M[E(|f|=n)]之和收敛.6 v, q5 v" \  E6 B6 X9 V; w
A.差错
2 O3 X: w/ a( c# H$ f) r" BB.正确
3 @( l$ T. P+ Z+ v% N) E: {答案:-$ y7 w6 t! ~2 W2 i/ ^, j7 a! [6 t

, o; ~; K+ Z$ I# u! ?/ I) |24.若f广义R可积且f不变号,则f L可积.
* w$ I# m7 \) p/ R# ?A.差错( K5 f* T' U0 k! C4 M
B.正确0 r# {3 _# N" c
答案:-. r  l. Y/ P2 u$ G& |1 q- u
" e& l* S2 A9 ~% f8 P4 s
25.不管Riemann积分仍是Lebesgue积分,只需|f|可积,则f必可积.
: i9 H. N% I& }2 H9 c, jA.差错
, X: T7 W8 J* N( M' p/ KB.正确
% K. N: x$ l+ ]) ]& {答案:-
  x; a/ V' _! ]' n9 v& [0 _3 N+ h- v% {% q2 i5 Z# K
26.g的接连点是L点,但L点未必是接连点.
; X# i# K3 J) H- D, w- m$ C% O( `A.差错9 `7 w' J  F# B; T4 p+ p* t
B.正确5 y: }1 i1 Z! X. z
答案:-
3 p  E" x5 Z+ l+ }+ r/ y" n: ^) ?: F: e% D$ Y
27.接连函数和单调函数都是有界变差函数.
+ F+ R+ q+ m- Y4 W  c4 AA.差错
3 `/ J1 \. U( [7 W- ~  Z& K" yB.正确
& F' X% b# T4 g3 ^5 c# E/ Y答案:-
8 X7 s" l+ s( p7 m2 l: B2 W
  f( x. j0 m# b8 M% X5 x# X28.必定接连函数是一类特别的接连有界变差函数。9 }, i5 m( u3 o$ e
A.差错
% n/ U5 c2 t- |+ m! ^7 DB.正确$ c( X6 T2 {2 |: C
答案:-7 u- v4 x+ ^3 H! ?
% z; Y& I4 c& v
29.f为[a,b]上减函数,则f'(x)在[a,b]可积且其积分值∫fdx≤f(b)-f(a) .# R' t9 P1 E3 `+ V
A.差错
" V$ R8 _! \' l2 g; {$ {B.正确
- X, N4 t1 G* [  S答案:-( C3 z' k% {  c5 a/ v. Z* q! I
5 o5 G5 M  K' g' Z# I/ A
30.设f:R-R可测,f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=ax3 i* \- x$ ]$ g8 k0 i9 j0 ^
A.差错' x* A" l3 j7 X0 L9 S; f& G9 K
B.正确9 E; C2 {0 G6 B
答案:-
+ T* |  c0 L$ w7 k1 C% f1 s% e4 V. H8 K+ h) }5 x' I
31.R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.
- f5 t. b& @0 QA.差错
$ o" p% |" Y- H5 ?' L$ U' `* `. b* y9 AB.正确
- X; ^% @1 |3 K: D答案:-
. b* I1 k  G0 d& N4 c) m+ K, `7 `1 V
32.若f_n测度收敛于f,则1/f_n也测度收敛于1/f.
- [9 [" E+ w; l3 MA.差错
; D0 g$ I2 z9 {0 P. k% c( _* WB.正确" v7 Y' Y! E' D7 c- `. i& y
答案:-2 Q1 N/ }3 t; S3 y7 ?
9 W8 C' e% O7 c2 \
33.可数个G_delta集之交和有限个G_delta集之并仍是G_delta集,但可数个G_delta集之并未必仍是G_delta集
. _; U7 ]5 C0 H+ V. ?A.差错7 O9 A$ f' _, i+ O5 u3 r
B.正确
5 n+ L$ W! a& I% N2 v! {6 o7 g0 y答案:-
7 o; h9 Q! l# M8 l* J$ K0 x$ h& M' e* c) z4 O, ?* }3 o: D
34.函数f≡C∈[-∞,∞],则f可测。& s2 G+ O6 r5 w" M$ Z0 F
A.差错- ~1 _* G8 Y- Y* U
B.正确
1 B, h) H1 i8 M3 I( K) P& _) R答案:-' L! r& C: B4 U( r- b

8 |5 e1 C4 b/ w3 D( W# l, ?2 }35.有限掩盖定理的内容是:若U是R^n中紧集F的开掩盖,则可以从U中取出有限子掩盖.4 ?1 p3 G8 U7 \. V1 K1 R
A.差错9 ^6 P" @+ [' {. }
B.正确
4 q7 e5 |, q$ w答案:-
5 P6 a% F! E2 X3 e4 \3 k1 p
* n  l5 B; Z: m$ x9 h, w# S: y36.函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不接连点集为零测度集./ k4 g2 k3 w0 r8 X) R
A.差错
* v+ F8 u% ?' ^' t& L/ @+ fB.正确* b% ?- t8 B( u2 z( |
答案:-/ b& T* T4 A  n
  q7 E/ @& G6 N: d& g% f4 c0 I
37.f,g∈M(X),则fg∈M(X).
" v& v' h+ ]* IA.差错9 d: a) p$ g8 [/ _+ f5 U: u$ ?$ c4 d
B.正确. D- r2 N# F' u7 W
答案:-
( r5 F1 n) h, G( a1 W" A6 d
, b* @' `( X( o+ h" E! f1.fn∈L(E),则fn-0,a.e.是∫Efndx-0( ). X, Q/ j  M/ T4 p4 l
A.充分条件7 B  c7 N& Q; {# l$ g! b/ {
B.必要条件# e$ _, C0 v0 c) `8 y7 M
C.充要条件5 p. b* r  u1 I
D.非充分非必要条件
# E2 Y5 M' q" t% D$ h- e答案:-  p$ h: Q  _3 z5 z5 z: s% }
" V- D, u0 u5 ^/ {0 [& G8 n" O
2.开集减去闭集其差集是( )  A, u6 d6 W3 V" X( ]* e
A.闭集
0 `: q3 C/ q  S# A# oB.开集
+ `% j- ]" Y* Z5 W0 _C.非开非闭集% A) z- o6 p6 m7 F* T" v& [
D.既开既闭集2 p4 H" u4 t* x2 H
答案:-
: d0 K5 w4 d$ ^% x) _- g7 p
8 j) m: z* R  q% O3.下列关系式中不树立的是( )
$ O1 G- y. f; _, L/ H0 o3 F# YA.f(∪Ai)=∪f(Ai)
6 @3 n$ S8 u1 WB.f∩(Ai)=f(∩Ai)
. h4 o5 r( F6 j6 ?C.(A∩B)0=A0∩B0
% Z3 w; J8 a7 c" S- `$ F3 i. qD.(∪Ai)c=∩(Aic)
9 Y. c! m" O% A8 [6 x! L答案:-1 S( U: q2 m3 r# o
# T' N' D7 Q5 @6 [$ v+ Z+ J; K- H
4.fn-f,a.e.,则4 F) h3 u3 b, j2 o7 Q( [! v/ P2 r
A.fn依测度收敛于f
9 Y, O0 A" M$ y  ?- D8 EB.fn几乎共同收敛于f
' k( ]  u5 [: s, q6 s8 z0 N  AC.fn共同收敛于f1 P- N( Q: i6 ^0 F6 Y5 g8 d
D.|fn|-|f|,a.e.. f- w9 \  v/ R8 v; s9 f" K0 c
答案:-
) e9 t) n+ l, k- R- R" I; n
. G5 |' D" c$ \( A* m4 e& B5.设g(x)是[0,1]上的有界变差函数,则f(x)=sinx-V0x(g)是[0,1]上的; M: F: R) L9 p( m( e+ a4 B
A.接连函数
7 M: n% ]! `! V3 Q6 A, k! o0 x# z$ w' TB.单调函数+ s$ v3 Y2 U- F, }
C.有界变差函数9 @0 }0 Y; Z! r3 n
D.必定接连函数: T$ I7 I$ V& ]2 B7 z
答案:-7 W2 I2 U( I7 @/ e
2 N) I( e0 s: X% Y# G
1.若f∈AC[a,b],则( )8 q/ h+ P) E# c4 Z* g
A.f∈C[a,b]3 C. m9 W# @4 r
B.f∈BV[a,b]" }* Z7 t3 B& W# M
C.f(x)=f(a)+∫ax  f '(t)dt
$ E7 ]! i+ E8 |2 [7 V! }- N7 ]D.f∈Lip[a,b]
$ n. F9 ~3 Z4 |8 U: o( r6 z答案:-0 y6 O6 D8 r( T+ M
1 X6 l7 a6 ?: T# a* N
2.若f∈BV[a,b],则( )  f  Y' E! E9 F# [
A.f为有界函数
, {% _' E9 Z/ i, @9 Y6 @B.Vax(f)为增函数
/ h$ q) h9 s$ k5 sC.对任意c有Vab(f)=Vac(f)+Vcb(f). w" m( A" x3 S( ?
D.f至多有可数个第一类接连点
" Z4 ^3 {/ A# d答案:-
  O3 K+ b6 i$ Y( P  I) h
1 h) f7 h0 f) O1 p, `# l3.f(x)=1,x∈(-∞,+∞),则f(x)在(-∞,+∞)上5 P  W6 R9 L) e5 ?; z0 E
A.有L积分值
, d) k2 }2 B( R% H/ L" f' JB.广义R可积, i& [3 G6 ]) o- m! o& q4 E7 i$ j
C.L可积4 k# Z+ U( \4 w. V
D.积分具有必定接连性
+ ^" T8 O0 G2 t% n答案:-: l2 P* u0 F+ W6 e- t

- z4 s- D1 E6 v. O0 p. v: D1 P0 F4 {- g4.若f,g是有界变差函数,则( )8 h7 }1 |7 U8 Z
A.f+g有界变差函数
# I; g' V0 P, ~5 O! uB.fg有界变差函数
$ g$ y0 W* E+ _+ z% O& E8 K, S+ T3 uC.f/g有界变差函数
. g- P2 g7 N& M6 Y! E% V  S1 kD.max(f,g)有界变差函数  c9 @- J1 O4 q3 L8 u6 G( |3 q
答案:-) v) D% K2 o- k% K: H, i! ]& D6 ^& P
( S' G" O' u, l# g
5.f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上
2 }" v, z! V; w9 }8 G2 l# g8 fA.广义R可积( z+ \" b* |: k. R' R
B.不是广义R可积1 t3 v' Y. V( q! O5 v) `
C.L可积
. h+ c5 c2 V0 T) O5 Q, A7 d2 fD.不是L可积
' ]+ R- N8 \( \; |( g答案:-
  `7 F- C; e! |' ]" Y8 h6 u' C
" {/ r. |" s* H8 `! J# {6.若0=g=f且f可积,则( )1 j6 R( a' e6 H
A.g可积2 T) s0 z$ A9 U8 J2 J* Q0 o% e2 P
B.g可测0 {8 O5 B. E& h; p) Z8 X
C.g∞,a.e.: H# [: Z$ u: f/ m
D.当g可测时g必可积
8 _) }; E+ j1 V9 N答案:-
+ k: z& d) ]. T/ U- U$ `/ ~& ]
# k3 t% E; P5 h7.设E1,E2是R^n中测度有限的可测集,则4 X! r: v0 E7 W7 D8 Z
A.m(E1∪E2)+m(E1∩E2)=mE1+mE27 G$ H3 a/ ^# I: P1 Q+ F5 T" s
B.若E1包括于E2,mE1=mE2
# V" d3 e% ?! w' I/ pC.若E1包括于E2,m(E2\E1)=mE2-mE13 D3 k; w. K- w9 }8 j1 J/ K- @
答案:-
, U: u7 H& z8 S! m
0 q/ V+ l7 p+ \1 x8 R8.若f(x)为Lebesgue可积函数,则( )* z' r4 |# q. y+ T* U
A.f可测7 Y$ ^! `. F+ d& F  f) A/ `
B.|f|可积
, s% T: i+ A1 p8 b( UC.f^2可积, M6 Y; D: Y- z- h' e) G
D.|f|∞.a.e.
$ j" z0 r7 _2 ?* {答案:-: M5 s& @2 Z* y+ {1 C+ e
) K) A0 v/ \5 u8 Y: |7 k1 Z- g' Z

" a: G  L0 g0 g) Z" f6 C  _1 f




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